2025 · 数学三 · 第 4 题 · 选择题

设函数

f (x)

连续，则

\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} f (x) d x =

（　　）。

答案

查看解析展开

原区域为 $0 \leq x \leq y \leq 1$ ，即顶点 $(0, 0), (0, 1), (1, 1)$ 所围三角形。换序后固定 $x \in [0, 1]$ ，有 $x \leq y \leq 1$ 。因 $f$ 连续，可交换次序，得到

\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} f (x) d x = \int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} f (x) d y = \int_{0}^{1} (1 - x) f (x) d x .

故选 D。系数 $1 - x$ 是固定 $x$ 时区域内竖直截线的长度；A 的系数 $x$ 对应另一半三角形，B 的 $1 + x$ 不是该截线长度，C 的 $x - 1$ 则将内层积分方向反了。