（1）写出利润并求导。设可微需求函数为 $Q=Q(P)$，成本为 $C(Q)$，则利润函数为 $L(P)=PQ(P)-C(Q(P))$。在价格和需求量均为正的内点最优解处，由费马定理，$L^{\prime }(P)=0$。因 $MC=C^{\prime }(Q)$，链式法则给出

（2）引入需求弹性。由定义 $\eta =-(\frac{P}{Q})(\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P})>0$，有 $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P}=-\eta \frac{Q}{P}$。代入最优必要条件，并利用 $Q>0$、$P>0$，得

当 $\eta \ne 1$ 时，可除以 $1-\frac{1}{\eta }$，得到定价模型 $P=\frac{MC}{(1-\frac{1}{\eta })}$。特别地，若边际成本为正，则上述等式要求 $\eta >1$。若 $\eta =1$，必要条件只能给出 $MC=0$，不能使用分母为零的比值形式。该模型是内点利润最大化的必要条件，具体应用时还须检查最大值。

（1）代入成本与需求函数。由 $C(Q)=1600+Q^2$ 得边际成本 $MC=2Q=2(40-P)$；由 $Q=40-P$ 得 $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P}=-1$，因此 $\eta =\frac{P}{Q}=\frac{P}{(40-P)}$。在 $0<P<40$ 时，$MC>0$，内点最优解应满足 $\eta >1$，即 $P>20$。

（2）由定价模型求价格。将 $MC$、$\eta$ 代入上一问结果，得

由于 $P>20$，分母非零且 $P>0$，约去 $P$ 后得 $2P-40=2(40-P)$，故 $P=30$。此时 $Q=10$，$MC=20$，$\eta =3$，代回模型为 $\frac{20}{(1-\frac{1}{3})}=30$。

（3）检查最大值。用 $P=40-Q$ 将利润表示为销量的函数：

在可行范围 $0\le Q\le 40$ 内，$L^{\prime }(Q)=40-4Q$，在 $Q=10$ 处为零，且 $L^{\prime \prime }(Q)=-4<0$，所以 $Q=10$ 是唯一最大值点，对应最优价格 $P=30$。此时利润为 $-1400$，说明给定成本结构下这一价格使亏损最小。