1994 · 数学三 · 第 7 题 · 选择题

设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2}{3} x^{3}, x^{2}, x \leq 1 x > 1

，则

f (x)

在

x = 1

处（　　）。

答案

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因为 $f (1) = \frac{2}{3}$ ，左导数为

f_{-}^{'} (1) = x \to 1^{-} lim \frac{\frac{2}{3} x ^{3} - \frac{2}{3}}{x - 1} = 2.

右侧函数值趋于 $1$ ，而 $f (1) = \frac{2}{3}$ ，故

\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} = \frac{x ^{2} - \frac{2}{3}}{x - 1} \to + \infty (x \to 1^{+}) .

右导数不存在。因此选 B。