代入 $(x,y)=(1,1)$，得 ${\mathrm{e}}^z+z=1$。左侧严格递增，且 $z=0$ 满足方程，故 $z(1,1)=0$。令 $F={\mathrm{e}}^z+xz-2x+y$，则该点 $F_z={\mathrm{e}}^z+x=2\ne 0$，由隐函数定理，局部隐函数光滑。
固定 $y$，对原方程关于 $x$ 求导：

即 $({\mathrm{e}}^z+x)z_x=2-z$，代入基点得 $z_x(1,1)=1$。保持求导后的函数等式，再对 $x$ 求导：

其中 $2z_x$ 分别来自 $z$ 和 $x{z}_x$ 的求导，不能漏掉任一项。在 $(1,1)$ 处有 $2z_{xx}+1+2=0$，故 $z_{xx}(1,1)=-\frac{3}{2}$。