（1）特征方程为 $r^3-2r^2+5r=0$。先提公因子 $r$，得 $r(r^2-2r+5)=0$，所以一个根为 $0$；二次方程判别式为 $4-20=-16$，另两个根为 $\frac{(2\pm 4\mathrm{i})}{2}=1\pm 2\mathrm{i}$。
（2）单根 $0$ 对应常数解 $1$，共轭根 $1\pm 2\mathrm{i}$ 对应 ${\mathrm{e}}^x\cos 2x$、${\mathrm{e}}^x\sin 2x$。三个根相异，对应实值解构成基本解组，故

（3）核对：常数解的各阶导数为零。对 $y={\mathrm{e}}^x\cos 2x$，逐次求导得

代入 $y^{\prime \prime \prime }-2y^{\prime \prime }+5y^{\prime }$，余弦系数为 $-11+6+5=0$，正弦系数为 $2+8-10=0$，故左端为零。${\mathrm{e}}^x\sin 2x$ 同样可验证；也可由特征根 $1+2\mathrm{i}$ 对应的复指数解取虚部得到。