由 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime \prime }(x)}{|x|}=1$，存在零点的去心邻域，使其中 $f^{\prime \prime }(x)>0$。

结合 $f^{\prime }(0)=0$，当 $x>0$ 且充分小时，$f^{\prime }(x)={\int }_0^x{f}^{\prime \prime }(t)\mathrm{d}t>0$；当 $x<0$ 且充分接近零时，$f^{\prime }(x)=-{\int }_x^0{f}^{\prime \prime }(t)\mathrm{d}t<0$。故 $f$ 在零点左减右增，$f(0)$ 是极小值，选择 B。