（1）先证明③。设其有限极限为 $L$，则 $|f(x)|=x[\frac{|f(x)|}{x}]\to 0$；由连续性，$f(0)=0$。右侧商非负、左侧商非正，两个单侧极限同为 $L$，故 $L=0$。于是

得到 $f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=0$，③能推出可导。
（2）对①，由商有有限极限且分母趋零，得 $|f(x)|-f(0)\to 0$；连续性又给出其极限为 $|f(0)|-f(0)$，所以 $f(0)\ge 0$。若 $f(0)>0$，连续函数局部保号，邻域内 $|f(x)|=f(x)$，①就是导数定义；若 $f(0)=0$，①化为③。故①成立。
（3）对②，同理得 $f(0)-|f(0)|=0$。因此分子正是 $f(x)-f(0)$，条件直接说明导数存在，②成立。
（4）对④，若 $f(0)=0$，条件化为③；若 $f(0)\ne 0$，由连续性局部保号，记 $\sigma =1$ 或 $-1$ 为该符号，邻域内有

左边极限存在，故右边差商也有有限极限，④成立。四个条件都能推出可导，选 D。
③以及零点情形的①④还强制 $f^{\prime }(0)=0$，并非可导的必要条件。例如 $f(x)=x$ 可导，但这三者的商都是 $\frac{|x|}{x}$，无双侧极限。