令 $x\to 0$。由 $\alpha (x)=o(x)$、$\sin x\to 0$ 及 $f$ 的连续性，原关系的极限给出 $-2f(1)=0$，故 $f(1)=0$。

利用 $f$ 在 $1$ 处可导，有 $f(1+\sin x)=f(1)+f^{\prime }(1)\sin x+o(x)$，$f(1-\sin x)=f(1)-f^{\prime }(1)\sin x+o(x)$。代入原式并比较 $x$ 的一次项，得 $4f^{\prime }(1)=8$，即 $f^{\prime }(1)=2$。

由周期 $5$，$f(6)=f(1)=0$，且 $f^{\prime }(6)=f^{\prime }(1)=2$。故所求切线为 $y=2(x-6)$。