记所求行列式为 $D$。第一列只有 $\lambda$ 和 $4$ 两个可能非零元素，按第一列展开，得

$$D=\lambda \left|\begin{array}{ccc}\lambda & -1& 0\\ 0& \lambda & -1\\ 3& 2& \lambda +1\end{array}\right|-4\left|\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ \lambda & -1& 0\\ 0& \lambda & -1\end{array}\right|.$$

第二个行列式为下三角形，其值为 $(-1{)}^3=-1$，所以对应贡献为 $4$。第一个三阶行列式再按第一列展开，得

$$\begin{array}{rl}{D}_3& =\lambda \left|\begin{array}{cc}\lambda & -1\\ 2& \lambda +1\end{array}\right|+3\left|\begin{array}{cc}-1& 0\\ \lambda & -1\end{array}\right|\\ & =\lambda [\lambda (\lambda +1)+2]+3\\ & ={\lambda }^3+{\lambda }^2+2\lambda +3.\end{array}$$

故

$$D=\lambda D_3+4={\lambda }^4+{\lambda }^3+2{\lambda }^2+3\lambda +4.$$

这里 $4$ 对应的代数余子式符号为 $(-1{)}^{4+1}=-1$，与三阶下三角行列式的负号相消，因此常数项为正。取 $\lambda =0$ 时直接展开也得到 $D=4$；取 $\lambda =1$ 时依次用前三行消去末行前三个元素，末行成为 $(0,0,0,11)$，故 $D=11$，与结果一致。