曲线的定义域要求 $x_0\ne 0$。由 $y^{\prime }=-\frac{2}{x^3}$，横坐标为 $x_0$ 的点是 $(x_0,\frac{1}{x_0^2})$，该点处斜率为 $-\frac{2}{x_0^3}$。

故切线方程为

也可写成 $y=-\frac{2x}{x_0^3}+\frac{3}{x_0^2}$。

由第一问的切线方程，切线与两坐标轴的截距分别为 $\frac{3x_0}{2}$ 与 $\frac{3}{x_0^2}$，所以被截线段的长度满足

令 $u=x_0^2>0$，则需最小化 $\frac{u}{4}+u^{-2}$。其导数为 $\frac{1}{4}-\frac{2}{u^3}$，唯一驻点满足 $u^3=8$，即 $u=2$。该函数在此处取得最小值 $\frac{3}{4}$。

因此

在 $x_0=\pm \sqrt{2}$ 时取得。