1998 · 数学一 · 第 18 题 · 解答题

已知二次曲面方程

x^{2} + a y^{2} + z^{2} + 2 b x y + 2 x z + 2 y z = 4

可以经过正交变换

x y z = P ξ η ζ

化为椭圆柱面方程

η^{2} + 4 ζ^{2} = 4

。完成下列各问：

答案

$a = 3, b = 1$

$P = \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{6} \frac{2}{6} \frac{1}{6}$

二次型矩阵为

A = 1 b 1 b a 1 111 .

化为 $0 \cdot ξ^{2} + η^{2} + 4 ζ^{2}$ 说明其特征值为 $0, 1, 4$ 。

由迹得 $a + 2 = 5$ ，所以 $a = 3$ 。再由行列式为零， $det A = - (b - 1)^{2} = 0$ ，故 $b = 1$ 。代回可验证特征值确为 $0, 1, 4$ 。

代入第一问所得 $a = 3, b = 1$ 后，对应特征值 $0, 1, 4$ 可分别取特征向量 $(1, 0, - 1)^{T}, (1, - 1, 1)^{T}, (1, 2, 1)^{T}$ 。它们两两正交，长度分别为 $2, 3, 6$ 。

将归一化后的三个向量依次作为列向量，得到

P = \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{6} \frac{2}{6} \frac{1}{6} .

于是 $P^{T} A P = diag (0, 1, 4)$ ，从而变换后的方程为 $η^{2} + 4 ζ^{2} = 4$ 。各列同时改变符号仍给出等价的正交矩阵。