2009 · 数学一 · 第 5 题 · 选择题

设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

是

R^{3}

的一组基，则由基

α_{1}, \frac{1}{2} α_{2}, \frac{1}{3} α_{3}

到基

α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{3} + α_{1}

的过渡矩阵为（　　）。

A
$120023103$
正确答案
B
$101220033$
C
$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{4} \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6}$
D
$\frac{1}{2} \frac{1}{4} - \frac{1}{6} - \frac{1}{2} \frac{1}{4} \frac{1}{6} \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \frac{1}{6}$

答案

解析

记旧基为 $B = (α_{1}, \frac{1}{2} α_{2}, \frac{1}{3} α_{3})$ ，新基为 $C = (α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{3} + α_{1})$ 。按列写出新基向量在旧基中的坐标：

$α_{1} + α_{2} = 1 \cdot β_{1} + 2 \cdot β_{2}$ ， $α_{2} + α_{3} = 2 \cdot β_{2} + 3 \cdot β_{3}$ ， $α_{3} + α_{1} = β_{1} + 3 \cdot β_{3}$ ，其中 $β_{i}$ 是旧基向量。因此过渡矩阵为

120023103

，对应选项 A。