由原式取 $x=0$ 得 $f(0)=0$。对等式两边求导，得到 $f^{\prime }(x)+2f(x)=2x$。

该方程的通解为 $f(x)=x-\frac{1}{2}+C{\mathrm{e}}^{-2x}$。由 $f(0)=0$ 得 $C=\frac{1}{2}$。

因此 $f(x)=x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-2x}$；代回原积分方程可直接验证成立。