2005 · 数学二 · 第 21 题 · 解答题

在第一象限用极坐标，利用正方形关于 $y = x$ 的对称性，只取 $0 \leq θ \leq \frac{π}{4}$ 再乘 $2$ 。此时 $0 \leq r \leq sec θ$ ，而 $r = 1$ 是绝对值内外的分界。

因此

I = 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} [\int_{0}^{1} (1 - r^{2}) r d r + \int_{1}^{s e c θ} (r^{2} - 1) r d r] d θ .

内层积分分别为 $\frac{1}{4}$ 与 $\frac{1}{4} tan^{4} θ$ 。

又

\int_{0}^{\frac{π}{4}} tan^{4} θ d θ = [\frac{1}{3} tan^{3} θ - tan θ + θ]_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{π}{4} - \frac{2}{3} .

故 $I = \frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{π}{4} - \frac{2}{3}) = \frac{π}{4} - \frac{1}{3}$ 。

答案