（1）确定曲线与投影。球面为 $(x-1{)}^2+y^2+z^2=1$，球心到平面 $2x-z-1=0$ 的距离为 $\frac{1}{\sqrt{5}}<1$，交线确为闭合圆。将 $z=2x-1$ 代入球面得

因此投影椭圆盘 $D$ 的半轴为 $\frac{2}{5}$、$\frac{2}{\sqrt{5}}$，面积为 $\frac{4\pi }{(5\sqrt{5})}$。
（2）选择曲面并求旋度。取交线所围平面圆盘 $\Sigma$。题设俯视逆时针对应上侧，因此 $\mathbf{n}\mathrm{d}S=(-2,0,1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。向量场光滑，其旋度为

与有向面积元的系数作内积，得

最后一步用了平面方程 $2x-z=1$。由斯托克斯公式，$I={\iint }_{D}1\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{4\sqrt{5}\pi }{25}$。
投影面积也可从空间圆盘算出：交圆半径为 $\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，真实圆盘面积为 $\frac{4\pi }{5}$，法向与 $z$ 轴夹角余弦绝对值为 $\frac{1}{\sqrt{5}}$，故投影面积同为 $\frac{4\pi }{(5\sqrt{5})}$。