（1）第一个方程的特征方程为 $r^2+r-2=(r-1)(r+2)=0$，所以 $f=C_1{\mathrm{e}}^x+C_2{\mathrm{e}}^{-2x}$，进而 $f^{\prime \prime }=C_1{\mathrm{e}}^x+4C_2{\mathrm{e}}^{-2x}$。
（2）代入第二个条件得 $2C_1{\mathrm{e}}^x+5C_2{\mathrm{e}}^{-2x}=2{\mathrm{e}}^x$。两个指数函数之比 ${\mathrm{e}}^{3x}$ 不是常数，故线性无关，比较系数得 $C_1=1,C_2=0$，即 $f(x)={\mathrm{e}}^x$。代回有 $f^{\prime \prime }+f^{\prime }-2f=0$、$f^{\prime \prime }+f=2{\mathrm{e}}^x$，两式均满足。

（1）由第一问，曲线为 $y={\mathrm{e}}^{x^2}{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$。令 $g(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$，被积函数连续，变限积分求导给出 $g^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{-x^2}$。无需写出 $g$ 的初等原函数。
（2）对 $y={\mathrm{e}}^{x^2}g(x)$ 连续用乘积法则：

（3）因 $g^{\prime }(x)>0$ 且 $g(0)=0$，$g(x)$ 与 $x$ 同号。又 $2(1+2x^2){\mathrm{e}}^{x^2}>0$，所以二阶导数的两项始终同号：$x<0$ 时 $y^{\prime \prime }<0$，$x>0$ 时 $y^{\prime \prime }>0$，且 $y^{\prime \prime }(0)=0$。因此 $x=0$ 是唯一可能的拐点横坐标，且此处二阶导数确实变号，凹凸性改变。
（4）$y(0)={\mathrm{e}}^0{\int }_0^0{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=0$，故唯一拐点为 $(0,0)$。还可由 $y^{\prime }=2xy+1$ 再求导，得 $y^{\prime \prime }=2(1+2x^2)y+2x$，与上式一致。