2008 · 数学二 · 第 6 题 · 选择题

设函数

f

连续。若

F (u, v) = \iint_{D_{uv}} \frac{f ( x ^{2} + y ^{2} )}{x ^{2} + y ^{2}} d x d y

，其中区域

D_{uv}

为图中阴影部分，则

\frac{\partial F}{\partial u} =

（　　）。

答案

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由图在极坐标下 $1 \leq r \leq u, 0 \leq θ \leq v$ ，且 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 。因此

F (u, v) = \int_{0}^{v} \int_{1}^{u} \frac{f ( r ^{2} )}{r} r d r d θ = v \int_{1}^{u} f (r^{2}) d r .

由变上限积分公式， $\frac{\partial F}{\partial u} = v f (u^{2})$ ，对应选项 $A$ 。