2000 · 数学一 · 第 15 题 · 解答题

对于幂级数

n = 1 \sum \infty \frac{1}{3 ^{n} + ( - 2 ) ^{n}} \frac{x ^{n}}{n}

，完成下列各问：

答案

$[- 3, 3)$

$x = - 3$ 时条件收敛； $x = 3$ 时发散。

查看解析展开

幂级数系数为 $a_{n} = \frac{1}{[ n ( 3 ^{n} + ( - 2 ) ^{n} )]}$ 。由于 $3^{n} + (- 2)^{n} = 3^{n} [1 + (- \frac{2}{3})^{n}]$ ，有

n \to \infty lim ∣ a_{n} ∣^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{3} .

故收敛半径 $R = 3$ ，在 $∣ x ∣ < 3$ 内绝对收敛，在 $∣ x ∣ > 3$ 时通项不满足收敛所需条件。结合第二问的端点判断，完整收敛区域为 $[- 3, 3)$ 。

当 $x = 3$ 时，通项为

\frac{1}{n [ 1 + ( - \frac{2}{3} ) ^{n} ]} .

它与 $\frac{1}{n}$ 的比趋于 $1$ ，故级数发散。

当 $x = - 3$ 时，级数为

n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n [ 1 + ( - \frac{2}{3} ) ^{n} ]} .

将通项写成 $\frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ 与一个绝对可和的余项之和：余项的绝对值受常数倍的 $\frac{( \frac{2}{3} ) ^{n}}{n}$ 控制。因此该端点级数收敛。

其绝对值级数仍与调和级数等价，故 $x = - 3$ 处为条件收敛。总的收敛区间为 $[- 3, 3)$ 。