由 $f^{\prime }(x)\le 0$，函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上单调不增。对任意 $x\in (a,b)$ 和 $t\in [a,x]$，都有 $f(t)\ge f(x)$，故 ${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t\ge (x-a)f(x)$。

对 $F(x)=\frac{1}{x-a}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 求导，得 $F^{\prime }(x)=\frac{(x-a)f(x)-{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t}{(x-a{)}^2}$。

上式分母为正，而由前述积分不等式知分子不大于零，因此 $F^{\prime }(x)\le 0$。