2007 · 数学一 · 第 23 题 · 解答题

设二维随机变量

(X, Y)

的概率密度为

f (x, y) = {2 - x - y, 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1, 其他 .

。

答案

$\frac{7}{24}$

$f_{Z} (z) = ⎩ ⎨ ⎧ z (2 - z), z^{2} - 4 z + 4, 0, 0 < z < 1, 1 \leq z < 2, 其他$

事件 $X > 2 Y$ 与密度支持集的交集为 $0 < y < \frac{1}{2}, 2 y < x < 1$ ，因此

P (X > 2 Y) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \int_{2 y}^{1} (2 - x - y) d x d y = \int_{0}^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} - 5 y + 4 y^{2}) d y = \frac{7}{24} .

作变量变换 $z = x + y$ ，保留 $x$ 为另一个变量，则 $y = z - x$ ，雅可比绝对值为 $1$ 。由 $0 < x < 1$ 、 $0 < z - x < 1$ ，得到

max (0, z - 1) < x < min (1, z), 0 < z < 2.

在该范围内，联合密度 $f (x, z - x) = 2 - z$ 。

当 $0 < z < 1$ 时， $x$ 的积分范围为 $(0, z)$ ，所以

f_{Z} (z) = \int_{0}^{z} (2 - z) d x = z (2 - z) .

当 $1 \leq z < 2$ 时，积分范围为 $(z - 1, 1)$ ，所以

f_{Z} (z) = \int_{z - 1}^{1} (2 - z) d x = (2 - z)^{2} = z^{2} - 4 z + 4.

在 $(0, 2)$ 外可取密度为 $0$ 。

两段在 $z = 1$ 处均给出 $1$ ，且 $\int_{0}^{1} z (2 - z) d z + \int_{1}^{2} (2 - z)^{2} d z = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$ ，与概率密度的归一化条件一致。