2015 · 数学二 · 第 18 题 · 解答题

联立 $y = x^{2}$ 与 $x^{2} + y^{2} = 2$ ，得 $y^{2} + y - 2 = 0$ 。因 $y \geq 0$ ，取 $y = 1$ ，交点为 $(\pm 1, 1)$ 。因此 $D$ 可写为 $- 1 \leq x \leq 1$ ， $x^{2} \leq y \leq 2 - x^{2}$ 。
区域关于 $y$ 轴对称， $x y$ 关于 $x$ 为奇函数，故 $\iint_{D} x y d x d y = 0$ 。再利用 $x^{2}$ 的偶性，

I = \iint_{D} x^{2} d x d y = 2 \int_{0}^{1} d x \int_{x^{2}}^{2 - x^{2}} x^{2} d y = 2 \int_{0}^{1} x^{2} 2 - x^{2} d x - 2 \int_{0}^{1} x^{4} d x .

第二项为 $\frac{2}{5}$ 。第一项中的积分令 $x = 2 sin t$ ，则 $0 \leq t \leq \frac{π}{4}$ ， $d x = 2 cos t d t$ ，且 $2 - x^{2} = 2 cos t$ ，所以

\int_{0}^{1} x^{2} 2 - x^{2} d x = 4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} sin^{2} t cos^{2} t d t = \int_{0}^{\frac{π}{4}} sin^{2} (2 t) d t = [\frac{t}{2} - \frac{sin 4 t}{8}]_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{π}{8} .

故 $I = 2 \cdot \frac{π}{8} - \frac{2}{5} = \frac{π}{4} - \frac{2}{5}$ 。

答案