奇函数满足$f(0)=0$。又因$f^{\prime }(0)$存在，按导数定义有$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=f^{\prime }(0)$，所以左、右极限都存在且相等。

$g(x)=\frac{f(x)}{x}$在$x=0$处未定义，但极限为有限值$f^{\prime }(0)$，故$x=0$是可去间断点，选$D$。