2007 · 数学二 · 第 19 题 · 解答题

令 $p = y^{'}$ ，则方程化为

\frac{d p}{d x} (x + p^{2}) = p .

在初值附近 $p \neq = 0$ ，把 $x$ 看作 $p$ 的函数，得到

\frac{d x}{d p} - \frac{x}{p} = p .

乘以积分因子 $\frac{1}{p}$ ，有

\frac{d}{d p} (\frac{x}{p}) = 1,

故 $x = p^{2} + C p$ 。由 $x = 1, p = 1$ 得 $C = 0$ ，从而在初值附近 $p = x$ 。

积分并使用 $y (1) = 1$ ：

y (x) = \int x d x + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{1}, 1 = \frac{2}{3} + C_{1} .

因此特解为

y (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} .

答案