函数为多项式，处处可微。由 $f_x=2x$、$f_y=4y$ 得 $\nabla f(0,1)=(0,4)$。
任取单位方向向量 $e$，设其与梯度夹角为 $\theta$，则方向导数为 $\nabla f(0,1)\cdot e=4\cos \theta \le 4$。当 $e=(0,1)$，即沿 $y$ 轴正向时取等号，所以最大方向导数为 $4$。
最大方向导数是数值，不能写成梯度向量 $(0,4)$。沿与梯度垂直的方向，方向导数为零只表示该点的一阶变化率为零，并不表示沿整条直线函数值恒定。