${\hat{\beta }}_{\mathrm{MM}}=\frac{\overline{X}}{\overline{X}-1}$

${\hat{\beta }}_{\mathrm{MLE}}=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\ln X_i}$（当$\sum _{i=1}^n\ln X_i<n$）；若$\sum _{i=1}^n\ln X_i\ge n$，在严格参数空间$\beta >1$内不存在最大似然估计，似然在$\beta \downarrow 1$时趋于其上确界。

由分布函数可得密度 $f(x;\beta )=\beta x^{-\beta -1}$，$x>1$。当 $\beta >1$ 时，$EX={\int }_1^{\infty }x\beta x^{-\beta -1}\mathrm{d}x=\frac{\beta }{\beta -1}$。

令样本一阶矩等于总体一阶矩：$\overline{X}=\frac{\beta }{\beta -1}$。解得 ${\hat{\beta }}_{\mathrm{MM}}=\frac{\overline{X}}{\overline{X}-1}$。

由于 $X_i>1$ 几乎必然，$\overline{X}>1$，该矩估计量存在并且严格大于 $1$，符合参数范围。

对来自该总体的观测值，有 $x_i>1$ 几乎必然。令 $S=\sum _{i=1}^n\ln x_i>0$，则在参数空间 $\beta >1$ 上，似然和对数似然为

因此 ${\ell }^{\prime }(\beta )=\frac{n}{\beta }-S$，${\ell }^{\prime \prime }(\beta )=-\frac{n}{{\beta }^2}<0$。

若 $S<n$，驻点 $\hat{\beta }=\frac{n}{S}>1$，由严格凹性它就是唯一最大似然估计量。

若 $S\ge n$，则对所有 $\beta >1$ 都有 ${\ell }^{\prime }(\beta )=\frac{n}{\beta }-S<0$，似然严格递减。由于参数空间不含 $1$，不存在使似然达到最大值的参数；当 $\beta \downarrow 1$ 时，似然趋于其上确界。特别地，$S=n$ 也属于最大值不存在的情形。