令 $\varphi (x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$。由题设，$\varphi$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内可导，且 $\varphi (a)=\varphi (b)=0$。

由罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使 ${\varphi }^{\prime }(\xi )=0$。于是 $f^{\prime }(\xi )-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$，即 $f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$，拉格朗日中值定理得证。

任取 $x\in (0,\delta )$。函数在 $[0,x]$ 上连续、在 $(0,x)$ 内可导，所以由拉格朗日中值定理，存在 ${\xi }_x\in (0,x)$ 使

当 $x\to 0^{+}$ 时，$0<{\xi }_x<x$ 故 ${\xi }_x\to 0^{+}$。由 $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(t)=A$，得到 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=A$。这正说明右导数存在且 $f_{+}^{\prime }(0)=A$。