（1）分母$x^2-x+1=(x-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}>0$，在积分区间没有奇点。分子写成$2x+3=(2x-1)+4$，其中$2x-1$是分母的导数。因此

$$I=[\ln (x^2-x+1){]}_0^1+4{\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{(x-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}}.$$

对数项为$\ln 1-\ln 1=0$。
（2）由反正切积分公式，剩余部分为

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{8}{\sqrt{3}}{\left[\arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right]}_0^1\\ & =\frac{8}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{8\sqrt{3}\pi }{9}.\end{array}$$

其中下限的反正切值为$-\frac{\pi }{6}$，代入时不能漏减这一项。