原积分的极坐标范围是 $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$，$2\cos \theta \le r\le 2$。其中 $r=2$ 为圆 $x^2+y^2=4$；$r=2\cos \theta$ 为圆 $x^2+y^2=2x$，即 $(x-1{)}^2+y^2=1$。所以区域位于第一象限、大圆内部且小圆外部。
由于 $r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta =\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，被积式变为 $f(x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，不再额外乘 $\sqrt{x^2+y^2}$。固定 $x\in [0,2]$，区域满足

此区间内两根式有意义且下限不超过上限。因此原积分为

故选 B。A 重复计入了面积元中的因子 $r$。C、D 使用 $1+\sqrt{1-y^2}$ 作整个 $0\le y\le 2$ 范围内的下限，$y>1$ 时根式甚至无实数意义。
若先对 $x$ 积，$0\le y\le 1$ 时应保留 $[0,1-\sqrt{1-y^2}]$ 与 $[1+\sqrt{1-y^2},\sqrt{4-y^2}]$ 两段；$1<y\le 2$ 时则为 $[0,\sqrt{4-y^2}]$。C、D 不仅漏段，C 还多乘了 $r$。