由 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{(1-\cos x)}=2>0$，存在 $0$ 的某个去心邻域，使其中 $\frac{f(x)}{(1-\cos x)}>0$。

当 $x\ne 0$ 且充分接近 $0$ 时，$1-\cos x>0$，故 $f(x)>0=f(0)$。因此 $x=0$ 是严格局部极小值点。

此外 $f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=2\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1-\cos x)}{x}=0$，所以并非不可导。应选择 D。