2000 · 数学一 · 第 19 题 · 解答题

某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将

\frac{1}{6}

熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐；新、老非熟练工经过培训及实践，至年终考核有

\frac{2}{5}

成为熟练工。设第

n

年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为

x_{n}, y_{n}

，记成向量

(x_{n} y_{n})

。完成下列各问：

(1) 求 $(x_{n + 1} y_{n + 1})$ 与 $(x_{n} y_{n})$ 的关系式，并写成矩阵形式 $(x_{n + 1} y_{n + 1}) = A (x_{n} y_{n})$ ；
(2) 验证 $η_{1} = (41)$ ， $η_{2} = (- 1 1)$ 是 $A$ 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；
(3) 当 $(x_{1} y_{1}) = \frac{1}{2} \frac{1}{2}$ 时，求 $(x_{n + 1} y_{n + 1})$ 。

答案

$(x_{n + 1} y_{n + 1}) = \frac{9}{10} \frac{1}{10} \frac{2}{5} \frac{3}{5} (x_{n} y_{n})$

$λ_{1} = 1, λ_{2} = \frac{1}{2}$

$\frac{4}{5} - \frac{3}{10} (\frac{1}{2})^{n} \frac{1}{5} + \frac{3}{10} (\frac{1}{2})^{n}$

支援其他部门后，熟练工剩 $\frac{5 x _{n}}{6}$ ，招收的非熟练工补足 $\frac{x _{n}}{6}$ ，故参加年终转化的非熟练工比例为 $y_{n} + \frac{x _{n}}{6}$ 。

年终有其中 $\frac{2}{5}$ 转为熟练工，所以

x_{n + 1} = \frac{5}{6} x_{n} + \frac{2}{5} (y_{n} + \frac{1}{6} x_{n}) = \frac{9}{10} x_{n} + \frac{2}{5} y_{n},

y_{n + 1} = \frac{3}{5} (y_{n} + \frac{1}{6} x_{n}) = \frac{1}{10} x_{n} + \frac{3}{5} y_{n} .

因此

(x_{n + 1} y_{n + 1}) = A (x_{n} y_{n}), A = \frac{9}{10} \frac{1}{10} \frac{2}{5} \frac{3}{5} .

由第一问的矩阵 $A$ ，直接相乘得

A (41) = (41), A (- 1 1) = \frac{1}{2} (- 1 1) .

故相应特征值分别为 $λ_{1} = 1$ 、 $λ_{2} = \frac{1}{2}$ 。

以 $η_{1}, η_{2}$ 为列的矩阵行列式为 $4 \cdot 1 - (- 1) \cdot 1 = 5 \neq = 0$ ，故两向量线性无关。

初始向量可分解为

\frac{1}{2} \frac{1}{2} = \frac{1}{5} η_{1} + \frac{3}{10} η_{2} .

由第一问的递推式和第二问的特征值，可得

(x_{n + 1} y_{n + 1}) = A^{n} (x_{1} y_{1}) = \frac{1}{5} η_{1} + \frac{3}{10} (\frac{1}{2})^{n} η_{2} = \frac{4}{5} - \frac{3}{10} (\frac{1}{2})^{n} \frac{1}{5} + \frac{3}{10} (\frac{1}{2})^{n} .