1990 · 数学一 · 第 18 题 · 解答题

给定二次型

f = x_{1}^{2} + 4 x_{2}^{2} + 4 x_{3}^{2} - 4 x_{1} x_{2} + 4 x_{1} x_{3} - 8 x_{2} x_{3}

。

(1) 求一个把该二次型化为标准形的正交变换；
(2) 写出化成的标准形。

答案

第 1 问

$x = Q y, Q = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{3} \frac{2}{5} \frac{1}{5} 0 - \frac{2}{3 5} \frac{4}{3 5} \frac{5}{3 5}$

第 2 问

$f = 9 y_{1}^{2}$

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第 1 问

二次型的对称矩阵为

M = 1 - 2 2 - 2 4 - 4 2 - 4 4 = v v^{'}, v = 1 - 2 2 .

因而特征值为 $9, 0, 0$ 。

取对应于特征值 $9$ 的单位特征向量 $q_{1} = \frac{( 1 , - 2 , 2 ) ^{'}}{3}$ 。在零特征空间 $v^{'} x = 0$ 中取一组标准正交向量 $q_{2} = \frac{( 2 , 1 , 0 ) ^{'}}{5}$ 、 $q_{3} = \frac{( - 2 , 4 , 5 ) ^{'}}{( 3 5 )}$ 。

令 $Q = (q_{1}, q_{2}, q_{3})$ ，即

Q = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{3} \frac{2}{5} \frac{1}{5} 0 - \frac{2}{3 5} \frac{4}{3 5} \frac{5}{3 5} .

三列两两正交且均为单位向量，所以 $Q^{'} Q = E$ 。所求正交变换可取 $x = Q y$ 。

第 2 问

沿用第一问的矩阵 $M$ 、正交矩阵 $Q$ 及单位特征向量的排列，

Q^{'} M Q = diag (9, 0, 0) .

所以在正交变换 $x = Q y$ 下，二次型化为标准形

f = 9 y_{1}^{2} .