2005 · 数学一 · 第 3 题 · 填空题

设函数

u (x, y, z) = 1 + \frac{x ^{2}}{6} + \frac{y ^{2}}{12} + \frac{z ^{2}}{18}

，单位向量

n = \frac{1}{3} (1, 1, 1)

，则

\frac{\partial u}{\partial n} ∣_{(1, 2, 3)} =

。

答案

$\frac{1}{3}$

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有 $\nabla u = (\frac{x}{3}, \frac{y}{6}, \frac{z}{9})$ ，故 $\nabla u (1, 2, 3) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ 。

方向导数为

\frac{\partial u}{\partial n} = \nabla u (1, 2, 3) \cdot \frac{( 1 , 1 , 1 )}{3} = \frac{1}{3} .