2001 · 数学二 · 第 20 题 · 解答题

设

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

为线性方程组

A X = 0

的一个基础解系，

β_{1} = α_{1} + t α_{2}, β_{2} = α_{2} + t α_{3}, β_{3} = α_{3} + t α_{4}, β_{4} = α_{4} + t α_{1}

。试问实数

t

满足什么关系时，

β_{1}, β_{2}, β_{3}, β_{4}

也为

A X = 0

的一个基础解系？

答案

$t \neq = \pm 1$

每个 $β_{i}$ 都是基础解系中向量的线性组合，因而都是 $A X = 0$ 的解。它们仍构成基础解系，当且仅当相对于 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 的坐标矩阵可逆。

该坐标矩阵为

C = 1 t 00 01 t 0 001 t t 001,

其行列式为 $det C = 1 - t^{4}$ 。所以要求 $1 - t^{4} \neq = 0$ 。对实数 $t$ ，即 $t \neq = \pm 1$ 。