1998 · 数学二 · 第 9 题 · 选择题

设函数

f (x)

在

x = a

的某个邻域内连续，且

f (a)

为其极大值，则存在

δ > 0

，当

x \in (a - δ, a + δ)

时，必有（　　）。

A
$(x - a) [f (x) - f (a)] \geq 0$
B
$(x - a) [f (x) - f (a)] \leq 0$
C
$t \to a lim \frac{f ( t ) - f ( x )}{( t - x ) ^{2}} \geq 0 (x \neq = a)$
正确答案
D
$t \to a lim \frac{f ( t ) - f ( x )}{( t - x ) ^{2}} \leq 0 (x \neq = a)$

答案

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可取充分小的 $δ > 0$ ，使得 $x \in (a - δ, a + δ)$ 时 $f (x) \leq f (a)$ 。

对固定的 $x \neq = a$ ，由 $f$ 在 $a$ 连续，

t \to a lim \frac{f ( t ) - f ( x )}{( t - x ) ^{2}} = \frac{f ( a ) - f ( x )}{( a - x ) ^{2}} \geq 0.

故 C 必然成立。A、B 的乘积会因 $x - a$ 在两侧变号而不能由极大值条件保证，D 的符号则与上式相反。