当 $x\to 0$ 时，令 $u=\frac{x}{x-1}$，则 $u\to 0$ 且 ${\mathrm{e}}^u-1\sim u$，所以 $f(x)\sim \frac{x-1}{x}$。于是 $x\to 0^{-}$ 与 $x\to 0^{+}$ 时函数分别趋于相反的无穷大，$x=0$ 是第二类间断点。

当 $x\to 1^{-}$ 时，$\frac{x}{x-1}\to -\infty$，故 $f(x)\to -1$；当 $x\to 1^{+}$ 时，$\frac{x}{x-1}\to +\infty$，故 $f(x)\to 0$。

在 $x=1$ 两侧极限均有限但不相等，因此 $x=1$ 是第一类间断点。对应选项 D。