1996 · 数学三 · 第 1 题 · 填空题

设方程

x = y^{y}

确定

y

是

x

的函数，则

d y =

。

答案

$\frac{d x}{x ( 1 + ln y )}$

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在实数范围取 $y > 0$ 。对 $x = y^{y} = e^{y l n y}$ 微分，得

d x = y^{y} (1 + ln y) d y = x (1 + ln y) d y .

因此在题设确能局部确定 $y = y (x)$ 的点（即 $1 + ln y \neq = 0$ ）有

d y = \frac{d x}{x ( 1 + ln y )} .