旋转曲面为 $x^2+y^2=2z$。所围立体在柱坐标下为 $0\le z\le 4$，$0\le r\le \sqrt{2z}$，$0\le \theta \le 2\pi$。

故

内层积分为 $2z^2$，于是结果为 $2\pi {\int }_0^{4}2z^2\mathrm{d}z=\frac{256\pi }{3}$。