2010 · 数学一 · 第 9 题 · 填空题

设

⎩ ⎨ ⎧ x = e^{- t}, y = \int_{0}^{t} ln (1 + u^{2}) d u

，求

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} ∣_{t = 0} =

。

答案

$0$

查看解析展开

（1）由参数方程和变上限积分求导公式， $x^{'} (t) = - e^{- t} \neq = 0$ ， $y^{'} (t) = ln (1 + t^{2})$ 。因此

\frac{d y}{d x} = \frac{y ^{'} ( t )}{x ^{'} ( t )} = - e^{t} ln (1 + t^{2}) .

（2）再对 $t$ 求导，并除以 $x^{'} (t)$ ，得

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{d}{d t} [- e^{t} ln (1 + t^{2})] \frac{1}{- e ^{- t}} = e^{2 t} [ln (1 + t^{2}) + \frac{2 t}{1 + t ^{2}}] .

代入 $t = 0$ 即得 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}_{t = 0} = 0$ 。此时对应 $x = 1$ ，并非 $x = 0$ 。参数方程的二阶导数不能写成 $\frac{y ^{''} ( t )}{x ^{''} ( t )}$ 。

记 $h (t) = \frac{d y}{d x} = - e^{t} ln (1 + t^{2})$ 。由 $ln (1 + t^{2}) \sim t^{2}$ ，得 $h (t) = - t^{2} + o (t^{2})$ ，且 $h (0) = 0$ 。于是由导数定义， $h^{'} (0) = t \to 0 lim \frac{[ h ( t ) - h ( 0 )]}{t} = 0$ 。又 $x^{'} (0) = - 1$ ，所以 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}_{t = 0} = \frac{h ^{'} ( 0 )}{x ^{'} ( 0 )} = 0$ 。

直接使用参数方程二阶导数公式：

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{y ^{''} ( t ) x ^{'} ( t ) - y ^{'} ( t ) x ^{''} ( t )}{[ x ^{'} ( t ) ] ^{3}} .

本题 $x^{'} = - e^{- t}$ ， $x^{''} = e^{- t}$ ， $y^{'} = ln (1 + t^{2})$ ， $y^{''} = \frac{2 t}{( 1 + t ^{2} )}$ 。在 $t = 0$ 处依次为 $- 1, 1, 0, 0$ ，故所求为 $\frac{[ 0 \cdot ( - 1 ) - 0 \cdot 1 ]}{( - 1 ) ^{3}} = 0$ 。