在点 $P=(x,y)$ 处，切线为 $Y-y=y^{\prime }(X-x)$，纵截距是 $y-x{y}^{\prime }$。点到 $y$ 轴的距离为 $x>0$，所以条件为 $y-x{y}^{\prime }=x$，即 $y^{\prime }-\frac{y}{x}=-1$。这里截距是交点的纵坐标，不应额外取绝对值。
乘积分因子 $\frac{1}{x}$，得到 $(\frac{y}{x}{)}^{\prime }=-\frac{1}{x}$。积分得 $\frac{y}{x}=-\ln x+C$，所以 $y=x(C-\ln x)$。由 $y(1)=2$ 得 $C=2$，故 $y=x(2-\ln x)$。
核对：$y^{\prime }=1-\ln x$，所以 $y-x{y}^{\prime }=x$，且 $y(1)=2$，符合题设。

（1）由变限积分求导定理，$f^{\prime }(x)=y(x)=x(2-\ln x)$。因 $x>0$，在 $0<x<{\mathrm{e}}^2$ 上导数为正，在 $x>{\mathrm{e}}^2$ 上导数为负，故 $f$ 先严格递增后严格递减，唯一的全局最大值点为 $x={\mathrm{e}}^2$。
（2）计算最大值。对 $\int t\ln t\mathrm{d}t$ 分部积分，取 $u=\ln t$、$\mathrm{d}v=t\mathrm{d}t$，得

因此 $\int t(2-\ln t)\mathrm{d}t=\frac{5t^2}{4}-(\frac{t^2}{2})\ln t+C$，代入上下限，得到