（1）求右极限。记 $F(x)=\alpha \arctan (\frac{1}{x})+(1+|x|{)}^{\frac{1}{x}}$。由于绝对值和 $\frac{1}{x}$ 的符号在原点两侧不同，分别计算左右极限。当 $x\to 0^{+}$ 时，$\frac{1}{x}\to +\infty$，所以 $\arctan (\frac{1}{x})\to \frac{\pi }{2}$；又 $|x|=x$，由重要极限 $(1+x{)}^{\frac{1}{x}}\to e$，得 $F(0^{+})=\frac{\pi \alpha }{2}+e$。
（2）求左极限。当 $x\to 0^{-}$ 时，$\arctan (\frac{1}{x})\to -\frac{\pi }{2}$。令 $x=-t$，则 $t\to 0^{+}$，并且

这里使用倒数函数在非零极限 $e$ 处的连续性。因此 $F(0^{-})=-\frac{\pi \alpha }{2}+e^{-1}$。
（3）令左右极限相等。两侧极限都存在，双侧极限存在当且仅当

所以 $\pi \alpha =e^{-1}-e$，得到 $\alpha =\frac{(1-e^2)}{(\pi e)}$。
（4）回代确认充分性。此时两个单侧极限均为 $\frac{(e+e^{-1})}{2}$，故该参数确使极限存在。题目不要求函数在 $0$ 处有定义或连续，无须增加函数值条件。