由 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=0$ 得 $f(x)\to 0$。结合 $f$ 在原点连续，得到 $f(0)=0$，并且 $f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=0$。

因 $f^{\prime \prime }$ 在原点附近连续，存在 $\delta >0$ 和 $M>0$，使 $|f^{\prime \prime }(x)|\le M$ 对 $|x|<\delta$ 成立。由带拉格朗日余项的泰勒公式，对这一区间内的 $x$，有 $|f(x)|\le \frac{M}{2}{x}^2$。

当 $n$ 充分大时，$\frac{1}{n}<\delta$，从而 $|f(\frac{1}{n})|\le \frac{M}{2n^2}$。由于 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛，比较判别法说明 $\sum _{n=1}^{\infty }|f(\frac{1}{n})|$ 收敛，故原级数绝对收敛。