1997 · 数学三 · 第 5 题 · 填空题

设随机变量

X

和

Y

相互独立且都服从正态分布

N (0, 3^{2})

，而

X_{1}, \dots, X_{9}

和

Y_{1}, \dots, Y_{9}

分别是来自总体

X

和

Y

的简单随机样本。记统计量

U = \frac{X _{1} + \dots + X _{9}}{Y _{1}^{2} + \dots + Y _{9}^{2}}

。

U

服从分布；
该分布的参数为。

答案

第 1 空：Student $t$ 分布

第 2 空： $9$

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第 1 空：

令 $Z = \frac{( X _{1} + \dots + X _{9} )}{9}$ 。因为每个 $X_{i} \sim N (0, 9)$ ，所以 $Z \sim N (0, 1)$ 。

又有 $V = \frac{( Y _{1}^{2} + \dots + Y _{9}^{2} )}{9} \sim χ^{2} (9)$ ，且由两总体及样本的独立性， $Z$ 与 $V$ 独立。

原统计量可写成

U = \frac{9 Z}{3 V} = \frac{Z}{\frac{V}{9}},

因而服从 Student $t$ 分布。

第 2 空：

第一个空定义的卡方变量 $V$ 由九个标准正态变量的平方和构成，自由度为 $9$ ，故该 $t$ 分布的参数为 $9$ 。