2000 · 数学一 · 第 16 题 · 解答题

以球心 $O$ 为原点，取 $z$ 轴正向指向 $P_{0}$ ，则 $P_{0} = (0, 0, R)$ 。记 $r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 。球内点 $(x, y, z)$ 的密度为

ρ = k [x^{2} + y^{2} + (z - R)^{2}] = k (r^{2} + R^{2} - 2 R z) .

由旋转对称性，重心在 $z$ 轴上。

球的质量为

M = k (∭ r^{2} d V + R^{2} ∭ d V) = k (\frac{4 π R ^{5}}{5} + \frac{4 π R ^{5}}{3}) = \frac{32 π k R ^{5}}{15} .

关于 $x y$ 平面的静矩中所有关于 $z$ 的奇函数项积分为零，故

M_{x y} = ∭ z ρ d V = - 2 k R ∭ z^{2} d V = - 2 k R \cdot \frac{1}{3} ∭ r^{2} d V = - \frac{8 π k R ^{6}}{15} .

于是 $z ˉ = \frac{M _{x y}}{M} = - \frac{R}{4}$ 。因此重心位于 $P_{0}$ 的反方向，距球心 $\frac{R}{4}$ 。

答案