1993 · 数学三 · 第 18 题 · 解答题

设随机变量

X

和

Y

同分布，

X

的概率密度为

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{3}{8} x^{2}, 0, 0 < x < 2 其他

。

(1) 已知事件 $A = {X > a}$ 和 $B = {Y > a}$ 独立，且 $P (A \cup B) = \frac{3}{4}$ ，求常数 $a$ ；
(2) 求 $\frac{1}{X ^{2}}$ 的数学期望。

答案

第 1 问

$a = 34$

第 2 问

$\frac{3}{4}$

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第 1 问

因 $X, Y$ 同分布，令 $p = P (X > a) = P (Y > a)$ 。事件 $A, B$ 独立，所以

P (A \cup B) = 2 p - p^{2} = \frac{3}{4} .

解得 $p = \frac{1}{2}$ （另一根 $\frac{3}{2}$ 舍去）。

当 $0 < a < 2$ 时， $P (X \leq a) = \int_{0}^{a} \frac{3}{8} x^{2} d x = \frac{a ^{3}}{8}$ 。故 $1 - \frac{a ^{3}}{8} = \frac{1}{2}$ ，从而 $a = 34$ 。该值位于 $(0, 2)$ 内，是唯一解。

第 2 问

虽然 $\frac{1}{x ^{2}}$ 在零点附近无界，但与密度中的 $x^{2}$ 抵消，积分收敛：

E (\frac{1}{X ^{2}}) = \int_{0}^{2} \frac{1}{x ^{2}} \frac{3}{8} x^{2} d x = \frac{3}{8} \int_{0}^{2} d x = \frac{3}{4} .