1989 · 数学三 · 第 14 题 · 解答题

求二重积分

\iint_{D} \frac{1 - x ^{2} - y ^{2}}{1 + x ^{2} + y ^{2}} d x d y

，其中

D

是

x^{2} + y^{2} = 1

、

x = 0

和

y = 0

所围成的区域在第Ⅰ象限的部分。

答案

$\frac{π}{4} (2 ln 2 - 1)$

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区域 $D$ 是第一象限内的单位四分之一圆盘，故极坐标范围为 $0 \leq r \leq 1$ 、 $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ 。

于是

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{1} \frac{1 - r ^{2}}{1 + r ^{2}} r d r d θ .

令 $u = 1 + r^{2}$ ，径向积分为

\int_{0}^{1} \frac{1 - r ^{2}}{1 + r ^{2}} r d r = ln 2 - \frac{1}{2} .

因此 $I = (\frac{π}{2}) (ln 2 - \frac{1}{2}) = \frac{π}{4} (2 ln 2 - 1)$ 。