（1）由$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=1$及$f$连续，得$f(0)=\underset{x\to 0}{\lim }x[\frac{f(x)}{x}]=0$。记$F(x)={\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u$，则$F(0)=0$，且$F^{\prime }(x)=f(x)$。
（2）当$x\ne 0$时，令$u=xt$，有$g(x)=\frac{F(x)}{x}$。此换元对$x<0$也成立，积分方向的改变已包含在上下限中。由商的求导法则，

（3）当$x=0$时，$g(0)={\int }_0^{1}f(0)\mathrm{d}t=0$，必须由导数定义另算。利用洛必达法则，

这里$\frac{F(x)}{x^2}$为$\frac{0}{0}$型，$F$可导，分母导数在去心邻域非零，且导数之比的极限存在，故洛必达法则适用。
综上，$x\ne 0$时$g^{\prime }(x)=\frac{[xf(x)-{\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u]}{x^2}$，$g^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$。题设仅保证$f$连续，不能直接对$f(xt)$求关于$x$的导数。

由第（1）问，$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x^2}=\frac{1}{2}$，且已独立求得$g^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$。因此

故$g^{\prime }$在$x=0$处连续。