由 $BA=B+2E$，移项得 $B(A-E)=2E$。

这里 $A-E=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$，其行列式为 $2$，所以可逆。

故 $B=2E(A-E{)}^{-1}=2(A-E{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$，所以空格应填 $=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$。