设 $\beta =c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+c_3{\alpha }_3$。比较三个分量得到

解得 $c_1=1$、$c_2=1$、$c_3=-1$，故 $\beta$ 在该基底下的坐标为 $(1,1,-1{)}^T$。