该二次型的对称矩阵为

。向量 $(1,1,1{)}^T$ 对应特征值 $a+4$，而其正交补上的两个方向对应特征值 $a-2$。

正交变换只将矩阵正交相似对角化。标准型 $6y_1^2$ 的特征值为 $6,0,0$，故 $a-2=0$ 且 $a+4=6$。因此 $a=2$。