作代换 $s=\frac{t}{2}$，原式成为 $f(x)=2{\int }_0^{x}f(s)\mathrm{d}s+\ln 2$。连续性保证右端可导，故 $f^{\prime }(x)=2f(x)$。

令 $x=0$ 得 $f(0)=\ln 2$，解初值问题得 $f(x)={\mathrm{e}}^{2x}\ln 2$，选 B。